Uzun bir aradan sonra "iş yapmamaya blog'u alet etme" macerama bir matematik yazısıyla devam edeceğim.
Vidyoda uzun uzun anlatılıyor, ancak temelde sorulan iki soru var: 1) neden "sayı/0"dan söz edilemez? 2) neden "0^0"dan söz edilemez? Sırayla gidelim.
1) Sayı/0:
Bunun çeşitli açıklamaları var, ancak ben kendi beğendiğim yöntemle başlayacağım, cebirsel açıklamayla. Diyelim ki, bir sayıyı (A diyelim) 0'a bölerek bir başka sayı (B diyelim) elde ediyoruz. Öyleyse, bölmenin tanımı itibariyle, B'yi 0'la çarpma sonunda da A elde etmeliyiz. Burada sorulacak soru, neden bölmenin tanımı böyle bir şey gerektirsin? Çünkü bölme dediğimiz şey, örneğin 2 ile bölmek, aslında 2'nin çarpmaya göre tersiyle çarpmaktır, yani bu durumda 1/2=0,5 ile. Öyleyse sayıyı 0'a bölmekle 1'i 0'a bölmek arasında bir fark yok, çünkü A/0=(A*1)/0=A*(1/0) diyerek görüyoruz ki 1'in 0'a bölümünü A ile çarparak A'nın 0'a bölümünü de bulabiliriz.
Öyleyse, geri dönelim, 1'i 0'a bölünce ne olur? Daha doğrusu, 0'ın çarpmaya göre tersi nedir? Ne olduğunu bilmem ama, tanımı itibariyle, o sayıyı 0'la çarpınca 1 çıkması gerekir, çünkü "çarpmaya göre tersi" demek çarptığımızda çarpmanın etkisiz elemanı olan 1'i elde edeceğiz demektir. E peki hangi sayıyı 0'la çarpınca 1 eder? Hiç bir sayı, çünkü her hangi bir sayının 0'la çarpımı 0'dır. Peki bu neden? Aslında, sadece 0'ın toplamanın etkisiz elemanı olmasından ötürü. Açalım:
0*A=(+1-1)*A=(+1*A)+(-1*A)=A-A=0
Sanırım kimsenin "0=1-1" ile bir problemi olmaz. "(x+y)*z=x*z + y*z" ise ilk başlardan beri bildiğimiz bir gerçektir (Peki sahiden bir "gerçek" midir? Hayır, tam tersine, bu, bu hesapların tutması için konulmuş koşullardan birisidir, tamamen yapaydır, ama iş görür) Eh, geriye bir başka koşul olarak 1*1=1 dedik mi, her şey kendiliğinden çözülüyor. Böylece, geriye dönersek, 0'la çarptığımızda 1 eden bir sayı bulamadık, yani 0'ın çarpmaya göre tersini bulamadık, yani 1'i 0'a bölemedik, yani sayıyı 0'a bölemedik.
Vidyoda söz edilen, benim pek de sevmediğim, 1/x'in 0'da sonsuza yakınsaması meselesi ise... Eh, 1/x'in sürekli bir fonksyon olmadığı bariz, dahası limiti bile yok, ve kesinlikle 0'da tanımlı değil. Öte yandan, 0'da tanımlı olmayışı tam da anlattığım şeyin bir sonucu. Neyse, ne diyordum... Eğer analiz yapacaksak, fonksyonların tanım aralıkları çok önemlidir. "1/x'i tüm uzayda tanımlayamadığımız için, kaldı ki 0'da limiti de olmadığı için, 1/0'dan söz edemeyiz" diyebiliriz. Öte yandan, limiti olsaydı bile bu söz etmemizi gerektirmez. Örneğin, diyelim ki, fonksyonumuz 1/x değil de x/x olsun. O zaman, tanımlı olduğu her yerde 1 olurdu (bariz) ve haliyle, 0'da da limiti 1 olurdu. Gene de bu bize 0/0=1 dedirtemez. Ya da bunu bir kenara bırakalım, fonksyonumuz x^2/x olsun. Öyleyse tanımlı olduğu her noktada x'e eşit olurdu, böylece 0'da da limiti 0 olurdu, ancak bu bize 0/0=0 dedirtmezdi. Neden? Çünkü Sayı/0 durumundan söz edilemeyeceğini şimdiye kadar çeşitli defalar ve şekillerde açıkladım, eh, 0 da bir sayı olduğuna göre, 0/0'dan da mantıklı bir şekilde söz edemeyiz.
2) 0^0:
Burada önemli bir soru var: her zaman A^B yazılabilir mi? Eğer bu meseleyi A'yı defalarca kendisiyle çarpmak olarak düşünürsek, A'nın pozitif tamsayı kuvvetleri gayet kolay, anlaşılır şeyler, A^1=A, A^2=A*A vs... Peki öyleyse, 0 ve negatif tamsayı kuvvetler ne demek oluyor? Tanımları biraz istismar ederek, ve pozitif tamsayı x,y için (A^x)*(A^y)=A^(x+y) gözlemimize dayanarak, diyebiliriz ki, A^0 öyle bir sayıdır ki A^n ile çarpıldığında A^(n+0)=A^n elde edelim. Tabii ki biliyoruz ki, bu koşulu sağlayan sayı 1'dir, hangi sayıyı 1 ile çarparsak kendisini elde ederiz (Daha büyük cebirsel genelliklerde böyle bir şart yok, bu bizim özelleşmiş çarpma işlemimizin bir koşulu sadece) Buradan devam edersek, A^(-n) sayısı için de denebilir ki bu öyle bir sayı olsun ki A^n ile çarpıldığında A^(n-n)=A^0=1 elde edelim. Bu sayının 1/(A^n) olduğu da aşikar. Böylece, her tamsayı B için A^B yazabildik. Ama bunu her A için yazabildik mi? Maalesef, çünkü 0^0'a tanıma uymak adına 1 desek bile, 0^(-n)'den söz edemeyiz, çünkü asla 0^n=0'la çarpıp da 1 elde edemeyiz. Öte yandan, bunun etrafından dolaşmak için bir değişiklik yapıp 0^0'a 0 dersek, o zaman da 0^(-n) yerine ne yazarsak yazalım (0^n)*(0^-n)=0^0=0 sağlanır, ki bu da bir öncekinden daha iyi bir vaziyet değil.
Peki ya tamsayı olmayan kuvvetler? Gene bir tanımsal istismar, ve tamsayı x,y için (A^x)^y=A^(x*y) gözlemimize dayanarak rasyonel kuvvetler de tanımlanabilir, peki bunu genişletmek mümkün mü? Dahası, bu rasyonel kuvvetleri de her A için tanımlayabilir miyiz? Tamsayı kuvvetler negatif sayılar için problem yaratmamıştı, çünkü (-1)^n sayısı tamsayı n'ler için ya +1 olacaktır ya -1, haliyle her sayının, pozitif veya negatif olduğuna bakmaksızın, tam sayı kuvveti de, tanımlanabiliyordu. Öte yandan, örneğin -1'in 1/2=0,5'inci kuvveti nedir? Başka bir şekilde sorarsak, hangi sayıyı kendisiyle çarparsak -1 elde ederiz? Bu da gerçek sayılar içinde yanıtlanamayan bir soru. Demek ki rasyonel kuvvetler bile, genel olarak, negatif sayılar için tanımlanamıyor. Peki, öyle olsun. O zaman rasyonel kuvvetleri pozitif sayılar için tanımlayıp, soralım: Bunu her sayı için genişletmek mümkün mü? Yanıt evet çıkıyor, hatta bu soruya bir yanıt bulmak dünyanın en meşhur ikinci aşkın sayısının keşfine de yol açıyor. Neyse, özetlersek, kuvvet alma problemi için bir kaç durum var:
- Kuvvet pozitif tamsayıysa, her sayının kuvveti alınabiliyor
- Kuvvet tamsayıysa, 0'dan farklı her sayının kuvveti alınabiliyor
- Sayı pozitifse, bu sayının her kuvveti alınabiliyor
