matematik bir bilim midir? sanırım bunu bilim felsefecilerine sormak daha doğru olacak, çünkü matematikçiler -ne kadar hevesle savunurlarsa savunsunlar- içten içe 'bilmem, bana ne?' der. o yüzden bu felsefi tartışmaları filozoflara bırakıyorum.
matematik temel olarak mantık disiplinin araçlarını kullanan, ölçmeyi ve görmeyi genelleştirmekle meşgul bir iştir. bir matematikçinin en sık kullandığı -ve bunu da onu kullandığını bile fark etmeden yapar- araçlar ise kümelerdir. türk eğitim sisteminin feleğinden geçmiş arkadaşlar kümeleri iyi tanır, yıllar yılı her matematik dersi onlarla başlamıştır. önemli bir soru, bunların ne işe yaradığıdır. esasen, sınıflandırmamızı kolaylaştırır. 'yeaa işte... öyle bişeyler canım' değil, 'hmm... bu şunların kümesidir' dememizi sağlar. sınıflandırmalar ve genellemeler de -az önce dediğim üzere- matematikçilerin ilgisini çeken şeylerdir. şimdi de kümelerle ilgili bir iki şey anlatayım.
-kümelerin elemanları vardır. bu elemanların küme olmaması gibi bir gereklilik yoktur. kimileri buna 'yaa olur mu öyle şey!' diye yaklaşsa da, bir anlık durup düşünme 'ya aslında olsa olur' sonucuna varılmasını sağlar. önemli nokta, kümenin kendisinin elemanı olamayacağıdır, yani A bir küme ise A *elemanıdır* A diyemeyiz, bunun imkansızlığını kabul etmeden kurulacak sistemler çeşitli çelişkiler içermektedir -haliyle, kullanılmamaktadır- tabii bunun bir sonucu olarak, hiç bir küme serisi kendisine kapanamaz. gerçekten ne kadar da anlamsız bir cümle. matematiksel olarak ifade edersek (affınıza sığınarak *elemanıdır* yerine E kullanacağım, daha iyi karakterler bulana kadar da böyle devam edebilirim) elimizde X={A, B, C,... Z} diye bir küme olsun, öyle ki X'in her elemanı bir kümedir. öyleyse A E B E C E ... E Z E A şeklinde bir yazım mümkün değildir. yani Anın dahil olduğu bir küme, veya onların dahil olduğu bir küme, veya onların... ait olduğu bir küme Aya ait olamaz.
az önceki örnekte dikkatinizi bir şeye çekmek istiyorum: A, B, C, ... Z diye kümeler olsun demek yerine, böyle bir X kümesinden söz ettim. işte kümelerin gücü burada yatmaktadır.
-kümeler üzerinde işlemler yapılabilir, ancak bunlar alışık olduğumuz cebirsel yapıları tatmin etmekle yükümlü değildir. ama zaten, bu kadar temel seviyede alışık olduğumuz her şeyi göz ardı etmeliyiz, çünkü aksyomatik olarak zaten o karışık şeyler bu basit şeylerin üzerine inşa ediliyor. başka bir deyişle "it's so simple that only a child can learn it" sözündeki bilgelik ortaya çıkıyor. ama bunu şimdilik bir kenara bırakalım ve işlemlerden söz edelim:
1) birleşim: X U Y = {x|xEX *veya* xEY}, başka bir deyişle, X ve Y nin birleşimiyle oluşan küme -ki bu biriciktir *bıyık altından gülenler için, biricik unique demektir*- öyle elemanlar içerir ki bunlar ya Xin ya Yin elemanıdır.
2) kesişim: X *kesişim* Y = {x| xEX *ve* xEY}, başka bir deyişle, X ve Y nin birleşimiyle oluşan küme -ki bu da biriciktir- öyle elemanlar içerir ki bunlar hem Xin hem Ynin elemanıdır.
-şimdi işlemleri -bir süre için- bir kenara bırakıp bir ilişkiye bakmak istiyorum: altkümelik. X *altkümesi* Y <=> xEX -> xEY, başka bir deyişle Xin Ynin altkümesi olması demek, Xin her elemanının Ynin içinde yer alması demektir. buna denk gelen bir de kapsama ilişkisi vardır, onu kısaca X *altküme* Y <=> Y *kapsar* X diye tanımlayabiliriz.
bariz bir şekilde X U Y *kapsar* X *kapsar* (X *kesişim* Y)
-hala kümeler üzerindeki işlemleri bitirebilecek araçlardan yoksunuz, bundan önce 'sıralı çift' kavramını tanımlamalıyız. bir kümede elemanlar için bir sıradan söz edilemez, {x, y} kümesi ile {y, x} kümesi arasında matematiksel olarak bir fark yoktur. ancak biliyoruz ki matematik sıralı çiftleri -ve daha fazlasını da- sıkça kullanmaktadır. örneğin düzlemdeki bir noktaya denk gelen (a, b) bir sıralı çifttir, çünkü bu (b, a) dan farklı bir noktadır. bunun için şöyle bir formülasyon var: (a1, a2, ... an) sıralı çoklusu {{a1}, {a1, a2}, ...{a1, a2, ... an}} kümesiyle gösterilmektedir. çok hoş ve temiz. dikkatinizi bu kümenin her elemanının da bir küme olduğuna çekmek istiyorum.
3) şimdi sonraları çok kullanılacak bir diğer işleme geçiyorum: kartezyen çarpım. ismini matematikçi ve filozof rené descartes (dekart okunur) dan alan bu işlem, aslında gayet basittir. A x B = {(a,b) | *tüm* aEA, *tüm* bEB}, yani başka bir deyişle Adaki her elemanla Bdeki her elemanı sıralı çiftler halinde yazarak elde ettiğimiz kümedir. tabii burada sıralı çiftlerde sıranın öneminden dolayı çarpımda da sıra önemli, yani genelde AxB = BxA geçersizdir.
bir örnek vereyim. A= {1,2,3}, B={a,b,c} ise AxB = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c)}, BxA = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)} olur
/edit: kümeler 102 yazımda kalın harfler kullanma fikrim çok hoşuma gitti ve bu yazıda da kullanmaya karar verdim, ancak geç verilmiş bir karar olduğu için biraz eğreti durdu. daha sonraki yazılarda daha dikkatli olacağım.
/edit: bir matematiksel notasyon programı bulmamla, yazılardaki ifadeleri daha formal bir şekilde tekrar veriyorum. aşağıda bulabilirsiniz.
\edit [sonbahar 2013]: matematiksel yazım "program"larının âlâsını bulmam üzerine bunlara artık gülüp geçiyorum. belki bir gün LaTeX kullanarak şunları pdf olarak koyarım blog'a.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder