0,999... = 1

Ekşi Sözlük'te vakit öldürürken sol kenarda gördüğüm bu tartışma beni bir yanıt vermeye mecbur bıraktı, gerçi bu ihtiyacın eyleme dökülmesine kadar geçen sürede 'muhendis' lakaplı arkadaş aslında konudaki en doğru açıklamayı yapmış, bana söyleyecek pek bir şey bırakmamış.

Anlamadığım şeyse, bu açıklamanın benim içimdeki tartışmamı (zira yarım saattir kafamda anlamamakta ısrarcı öküzlere laf anlatıyordum) bile bitirmiş olmasına rağmen, nasıl oluyor da konuda hala bu lafın üstüne laf edecek 6 adam çıkıyor? 5'inin sözlerinde ciddiye alınacak en ufak bir kırıntı bile yok zaten, başarısız troll'ler bile olmaları mümkün, kalan biri de önermenin doğruluğuna değinmiş. E adam zaten doğruluğunu anlatmış, daha neyin peşindesin ki sen? Neyse, bir heyecan başladığım yazıyı en azından o yorumu alıntılayarak bitireyim:

bu esitlik dogru mudur degil midir, kabul mudur gercek midir tartismasina girmeden once, kullandigimiz ifadelerin ne anlama geldigi uzerinde anlasmamiz lazim. matematige dair tum anlasmazliklar, aslinda tanimlar uzerindeki anlasmazliklara dayaniyor. simdi, "1" ve "=" sembollerinin ne anlama geldigi konusunda herhalde hemfikiriz, demek ki "0.999..." ifadesi ne anlama geliyor o konuda anlasmamiz lazim. "0.999..." ifadesi, sonundaki uc noktadan da anlasilacagi uzere, aslinda bir limitin kisaltmasidir. hangi limitin kisaltmasidir? 9/(10^1) + 9/(10^2) + 9/(10^3) + ... + 9/(10^n) toplaminin, n sonsuza giderken varacagi limitin kisaltmasidir. bu limit de 1'dir, cunku 1'den yukaridaki toplami cikarirsak, aradaki fark n sonsuza giderken sifira gider. (daha kesin bir ifadeyle: sifirdan buyuk her bir epsilon degeri icin, n yeteri kadar buyukse yukaridaki toplamin 1'den uzakligi epsilondan kucuk olur.) demek ki 0.999... = 1 esitligi dogrudur. asagi yukari degil, tam olarak dogrudur. ve bir kabul degil, bir gercektir. tabii, sol tarafin bir limiti ifade ettigi konusunda anlasiyorsak. yok, siz sol tarafa "sifir virgul bir suru dokuz" gibi sezgisel bir anlam veriyorsaniz, bu esitlik tabii ki dogru olmaz. daha dogrusu, sol tarafa kesin bir tanim veremedigimiz surece, bir esitlikten bahsetmek dogru olmaz. yazdigimiz sey anlamsiz bir semboller dizisi olur.

Approved!

Edit: Baktıkça sinirleniyorum, haddimi aşıp söyleyeceğim: "Herkes de matematik Ph.D almış mk!"
Olay entel mastürbasyonu değil, 'ben biliyorum sen bilmiyorsun hah ha nasıl da kodum!' diye kendimden geçmiyorum, ama anlamadığım bir şey var: Bu insanlar belli ki çok da anlamadıkları, kesinlikle uzmanı olmadıkları bir konuda, nasıl bir özgüven ve sosyal cesaretle (cahil cesareti tabir edilen cesaretle muhtemelen) sorgulamadan ahkam kesebiliyor? Belli ki hiç kimsenin ('Muhendis'i dışarıda bırakıyorum) aklına 'Ya iyi güzel de, bu 0,999... denen meret ne ki?' diye sormak gelmiyor. Oysa bu soru, rasyonel sayılar ve ondalık ifadeler diye başlayıp reellerin tanımlanmasına kadar gidecek bir düşünce zincirinin ilk halkası olabilirdi. Herkes 'Ya işte bu da bir sayı' diyor, aynı yüzeysel yaklaşımla aynı yanıtı sonsuz için veren zihniyet de bu işte. Elbette 0,999... bir sayıyla özdeşleştirilebilir, özdeşleştirilmesi gereken sayı da 1'dir, çünkü reel sayılar böyle tanımlanır.

Haydi elimi korkak alıştırmayayım, matematiksel olgunluk adına bir kaç adım atayım. Doğal sayı -ya da sayma sayıları, üç aşağı beş yukarı aynı şeye denk geliyorlar- sistemiyle haşır neşir olmayan yoktur, bu gayet güzel bir kümedir, üzerinde toplama ve çarpma işlemleri tanımlanabilir. Ancak bir sıkıntısı, bu işlemlerin tersi olmamasıdır. Toplamanın tersi için tamsayılar, çarpmanın tersi için rasyonel sayılar kümelerinin gelişimyle (ilginç bir şekilde okullarda tamsayılar 'pozitif' rasyonel sayılardan önce öğretilmiyor. İlkokul öğretmenimle rasyonel sayıların sayı doğrusu üzerindeki gösterimine dair bir tartışmaya girdiğimi hatırlarım) birlikte sayılarımız cebirsel ihtiyaçlara tam anlamıyla yanıt verebilir bir hale gelmiştir (yani, neredeyse 'tam'. Hala x^2+1 polinomunun kökleri eksiktir örneğin, ama bu ayrı bir konu.) Yani artık 'toplama-çıkarma-çarpma-bölme' diye bilinen 4 işlemin tamamı bir anlam ifade etmektedir.

Ancak cebiri bir kenara bırakırsak, bu kümenin bazı sıkıntıları hala vardır. Bu küme, 'bütün' değildir, örneğin basit bir ispatla gösterilebileceği üzere 2^½ ( = karekök 2) bu kümede yer almaz. Kümemizi cebirsel yollarla biraz büyütebilsek de (böylece 2^½ bu kümeye dahil olur) hala yeterli değildir, örneğin meşhur π sayısı bu yeni kümede de yer almaz (bunun ispatı o kadar kolay olmasa gerek, hala göremedim.)

Böylece cebirsel yöntemlerle gelebileceğimiz en büyük kümenin de hala yeterli olmadığını görünce yeni bir yönteme ihtiyaç duyulmuş. Bunun için temel kalkülüs tekniklerinden faydalanmış, dolayısıyla bu 'analitik' bir yöntem. Kullanılan teknik için önce şundan söz etmek gerek, bu halledildikten sonrası kolay. Tabii, her (yeni tanımlanacak olan) reel sayının bir tam sayı kısmı, bir de buna eklenecek 0 ve 1 arasındaki bir kısmı olacaktır. Her reel sayı bu şekilde biricik olarak ifade edilebilir ve tamsayı kısmı zaten tanımlandığı için önemli olan 0 ve 1 arasındaki kısmı tanımlamaktır. Yöntem şu:

1. Elemanları {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinden alınan bir {c_n} dizisi alalım. Örneğin {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... } (Bunlar, en son ulaşacağımız sayının rakamları olacak, 10 tane rakam olması tamamen bizim ondalık sisteme olan bağlılığımızdan, istediğimiz kadar çok rakam kullanılabilir)
2. Böyle her dizi için şu seriyi tanımlayalım: *toplam* (c_n)/10^n Örnekten devam edersek bu 0/10 + 1/100 + 2/100 + 3/1000 + 4/10000 + 5/100000 + 6/1000000 + ... (Bu adımda rakamları uygun basamaklara yerleştiriyoruz)
3. Bu seri sonunda bir 'şey'e istediğimiz kadar yaklaşabilir. O 'şey'e bu diziyle özdeşleştirilmiş sayı olarak tanımlanır, 0,0123456789876543210123456789... diye gösterilir. (En sonunda sayı tamamen tanımlandı)

İşin analitik kısmına girmeyeceğim, ancak bu yeni yöntemle her rasyonel sayının gösterileceği açık, çünkü her rasyonel sayı bir rakamlar topluluğuyla gösterilebilir, liseye kadarki matematik bilgisi bunu söylüyor. Demek ki bu yöntemle bir şeyler kaybetmedik, her türlü kazançlıyız. Dahası, artık her bir 'şey'e 'yaklaşan' dizinin yaklaştığı 'şey' bir sayı olacak, ki bu eskiden olmayan bir şeydi. Sahiden de, öyle bir rasyonel dizi yazılabilir ki, aslında 2^½ye yaklaşmakta, ama o sayı rasyonel olmadığı için rasyonel sayı kümesinde hiç bir şeye yaklaşamıyormuş olurdu. İşte bundan ötürü 1 sayısını 1+*toplam*0 olarak yazabileceğimiz gibi, 0+*toplam*9/(10^n) şeklinde yazabiliriz. Tabii bu son önerme için bu serinin limitinin 1 olduğunu göstermek gerekiyor, ki bu yeterince kolay.

*toplam*9/(10^n) = 9 * *toplam* (1/10)^n Geometrik seri formülünden bu toplamın 1/9 ettiğini biliyoruz, bunun 9 katı 1 eder, ki bu da göstermek istediğimiz şeydi.

Ve böylece reel sayı kavramı tanımlandı. Bu kadar yazı yazdıracak bir konuda kalkıp "Saçma saçma konuşmayın, öyle değildir işte!" derinliğinde laflar savuranları da akıl fikir veren kişi ve kurumlara havale ediyorum.

Edit2: Delireceğim! Bir de yeni yeni çok büyük laflar edenler çıktı bu konuda. Güzel güzel konuşup 'işte bu yüzden eşitlik yanlıştır!' diyorlar. Demek ki neymiş? Okumuş cahil, okumamış cahilden betermiş. Neyse ki zamanla birlikte beni acılara sürüklemeyen girdi sayısı 2'den daha yüksek sayılara çıkmış (uzunca bir süre sadece konudaki ilk mesaj ve 'muhendis'in girdileri elle tutulur şeyler söylüyordu.)

Edit3: Tabii gözden kaçırılmaması gereken bir nokta var. Bu yazı içinde çelişen iki şey var: 'her sayı biricik bir şekilde ifade edilebilir' ve '1 hem 1 + *toplam* 0 hem de 0 + *toplam* 9/(10^n) şeklinde gösterilebilir.' Tabii, daha sade bir gösterim olması adına 1 + *toplam* 0 tercih edilir, ancak bu gösterimi tek yapmaz. Aynı sorun aslında bir çok sayı için vardır, 0,1 sayısı da 0,0999... diye gösterilebilir. Mümkünse tekrar eden gösterimden uzak durarak 'neredeyse' biricikliğe erişilebilir.