Ufak bir not

Son yazımda cebirin ilginçliklerine bir örnek olması için 2 = küpkök(10+kök108) - küpkök(-10+kök108) eşitliğini ortaya atmıştım, ama bunun neden böyle olduğu bariz olmayabilir.
Varmak istediğimiz noktadan başlayıp geriye doğru adım adım gidelim. Bu eşitliğin iki tarafı da x^3+6x-20 polinomunun (tek) gerçel (reel) kökü olduğuna göre, parantez içindeki tek'in işaret ettiği üzere, bunlar birbirine eşit olmalı. Peki bunun tek kök olduğunu nasıl söyleyebiliriz? Genel bir kural olarak, n. derece bir polinomun (en fazla) n adet "kolu", buna bağlı olarak da n-1 adet kıvrım noktası olacaktır. Öyleyse yukarıdaki gibi 3. derece polinomların grafikleri uçları sonsuza giden bir N gibi görünecektir (ya da katsayı negatifse başaşağı duran hali). Sonsuza gittiği için mutlaka x-ekseni bir noktada kesilecektir, ama daha çok olmadığını nasıl bilebiliriz? Temel kalkülüs bize kıvrım noktasının yerel uçnokta (ekstrema) olacağını söyler, ara değer teoremi ise (değer diyince aklım marksist kavramlara gitti ama aslında intermediate value theorem'den söz ediyorum) iki uç arasındaki her değerin alınacağını söyler. Öyleyse eğer bu uçnoktaların işaretleri aynıysa x-ekseni N'in sadece sonsuza giden bacaklarından biri tarafından kesilmiş demektir, ortadaki kısım değil (bunu görselleştirmek için kağıt-kalem faydalı olabilir).
Öyleyse uçnoktaları bulmak için türev alıp P'(x) = 3x^2+6 bulunur, ki bunun da (reel) bir kökü olmadığı için her zaman pozitif bir sayı olacaktır, yani her zaman artar, yani aslında bu polinom N bile değil, hemen hemen / gibi görünecektir, bunun da ekseni neden tek noktada kestiği görülebilir.

İkinci mesele ise, tamam, 2^3+6*2-20 = 0, ama aynı şeyi küpkök'lü terim için nasıl söyleyeceğiz? (yazmayı bırakın kopyalayıp yapıştırmaya bile üşenmem sanırım hem terim için, hem de benim bu blog'a verdiğim için iyi bir işaret değil) başlığın "ufak bir not" olmasına ve benim cebirle mesafeli bir ilişki içinde olmama bakarak uzun uzun açıklamamamı mazur görürsünüz: ana fikir (a-b)^3 = a^3-b^3-3ab(a-b) eşitliğinde çıkıyor, eğer değişkenimizi x = a-b şeklinde yazmayı becerebilirsek (bizim örneğimizde yazılabildiği aşikar). bu örnek üzerinde adım adım ilerlerseniz x^3 + ax + b polinomlarının köklerini bulmanın formülünü de üretebilir hale gelirsiniz (bu yolun sonraki adımıysa genel küplü polinomları, x^3+ax^2+bx+c, genel bir şekilde çözebilmek ama -hatırlatmak adına- bu ufak notun kapsamında değil)