Dün bu ilginç problemi görünce, çözümün anafikrinin de incelikli bir numara değil de brute force diyebileceğim bir yaklaşım olduğunu görünce işi vSauce'dan Michael'a bırakmadan kendim çözeyim dedim.
Ufak bir dönüş-integrali aldıktan sonra h yarı-yüksekliğindeki (çap-yarıçap gibi düşünün; aslında şekil 2h yüksekliğinde olsa da orta noktadan ölçmek daha faydalı oluyor) peçete-yüzüğünün hacmini buldum:
V_nr = 4/3*πh^3, h<=R (R yarıçaplı bir küreden kesilen h yarı-yükseklikli peçete-yüzüğünün hacmi)
Öncelikle bu hacimle ilgili iki noktaya dikkat çekmek istiyorum: ilki, her ne kadar R yarıçaplı bir küreden söz etsek de formülün R'den bağımsız oluşu; ikinci noktaysa h=R durumunun bize kürenin hacmini veriyor oluşu. Bu noktaları belirttikten sonra esas ilginç kısma geçelim: Bir peçete-yüzüğü ve bir küre arasında ne fark var? Peçete-yüzüğünün içbükey gövdesini (convex hull) elde etmek için eklediğimiz silindir, bir de bunun iki tarafına eklenen küre kesitleri. Eğer kürenin, silindirin ve peçete-yüzüğünün hacmini biliyorsak bir küreyi belli bir yükseklikte kesilen "kapağın" hacmini de bulabiliriz:
V_sc = π/3*H^2(3R-H), H<=R (R yarıçaplı bir küreden kesilen H yüksekliğindeki kapağın hacmi)
(Bunlarda, özellikle integral almayı biliyorsak, çok da ilginç bir yan olmadığını kabul ediyorum ancak yapmışken boşa gitmesine de gönlüm el vermedi.)
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder