Kısa Bir İspat

Şöyle bir oyunumuz olsun: bir zar atıyoruz, eğer 6'dan farklı bir sonuç gelirse ne geldiyse bir kağıda onu yazıyoruz, 6 gelirse de 6 gelmeyene kadar tekrar atıp 6 gelmeyen ilk rakamı yazıyoruz. Bu durumda kağıda 1 yazma ihtimalimiz nedir?

Buna yanıt vermenin iki yolu var. Kolay olanı doğrudan kağıda yazılabilecek rakamların {1, 2, 3, 4, 5} kümesinden olduğunu görüp, her birinin aynı ihtimalde olduğunu söyleyerek (sayılar arasında bir fark yok çünkü) 1/5 demek. Daha karışık olansa hesaplamak:

1/6 ihtimalle zarı attığımız gibi 1 gelecektir...
Ve 1/6 ihtimalle zarı attığımızda 6 gelecek, bunun üzerine de ikinci atışımızda 1/6 ihtimalle 1 gelecektir.
Ve 6^-2 ihtimalle iki zar atışımız da 6 gelecek, bunun üzerine 1/6 ihtimalle 1 atacağız.
Ve bu bir yerde kesebileceğimiz bir işlem değil, çünkü zarı kaç kere atmış olursak olalım, bir sonrakinin de 6 olma ihtimali vardır. Öyleyse elimizdeki hesap şöyle bir sonsuz toplam şeklinde olacak:

6^-1 + 6^-2 + 6^-3 + ... 6^-n + ...

Ve bu da 1/5'e eşit olacaktır! Geometrik toplamı bu şekilde ele alan ilk kişi olmadığıma eminim, ama daha önce görmemiştim.