Fonksyonlar

1. Eşitlik Sınıfları
lafı fonksyonlara getirmeden önce eşitlik sınıflarından söz edeceğim. aslında bu da, nasıl fonksyonlar ilişkiler bilinince çok basit bir kavrama dönüşüyorsa, eşitlik ilişkileri bilinince çok basit bir kavrama dönüşüyor. X üzerinde verilmiş bir eşitlik ilişkisi (~) ve aEX için, [a] ile bir küme ifade ediyoruz, öyle ki, elemanlarının her biri için -x diyelim- a~x demek mümkün. başka bir gösterimle, [a]={xEX| x~a}, ve tabii ki bu X kümesinin bir alt kümesi oluyor. bu kümeye [a] nın eşitlik sınıfı diyoruz. bunu kümenin tüm elemanları için yaptığımızda da X/~ diye gösterebiliriz.

örnek vermek gerekirse, ilişkimiz doğruların paralelliği olsun. bunun eşitlik ilişkisi olduğunu göstermiştik. şimdi yapacağımız şey, paralel olan her doğruyu bir küme ile ifade etmek olacak. ancak bu, geometrik bir öğeyi bu görsellikten çıkarmak olacağı için, bu kümelere denk gelecek başka bir şekil de bulabiliriz. bildiğimiz şey, bu eşitlik sınıflarını {[a]| aEX} şeklinde yazabildiğimiz, ve bunu da paralel olmayan a'lar için yapabildiğimizdir.

başka bir örnek için, önce farklı bir ilişki tanımlayayım: modn ilişkisi, ama kolaylık adına hala ~ ile ifade edeceğim. bu ilişki şöyle tanımlanıyor: a~b <=> n|(a-b) [son gösterim, yani n|(a-b) n tamsayısının a-b tamsayısını tam bölebildiği anlamına geliyor, yani a-b n'in bir katıdır]
önce bunun bir eşitlik ilişkisi olduğu gösterilmeli
- a-a=0, n|0, öyleyse a~a
- a~b, öyleyse n|a-b, öyleyse a-b=n.k, öyleyse b-a=n.(-k), öyleyse n|b-a, öyleyse b~a
- a~b, b~c, öyleyse a-b=n.k, b-c=n.l, öyleyse (a-b)+(b-c)=a-c=n.k+n.l=n(k+l), öyleyse n|a-c, öyleyse a~c
böylece bu ilişkinin eşitlik ilişkisi olduğunu gösterdik. şimdi [0]'ı inceleyelim:
[0]={...,-2n, -n, 0, n, 2n,...}, yani n'in katı olan sayılar. [1] kümesi bu sayılara 1 eklenince oluşur, [-1] ise 1 çıkartınca. dikkate değer bir nokta, [0]=[n], [1]=[n+1], [-1]=[n-1] vs.

bunun nedeni nedir? bir teorem der ki [a]=[b] <=> bE[a]
ispatlayayım: (=>) bE[b], çünkü her elemanın kendisine eşit olması eşitlik ilişkilerinin bir koşuluydu, ve [b]=[a], öyleyse bE[a]
(<=) bE[a], çünkü hipotezimiz bu yönde, ve bE[b], çünkü bu eşitlik ilişkilerinin bir gereksinimidir. şimdi [a] kümesi ile [b] kümesinin eşitliğini gösterelim, bunu da her birinin diğerinin alt kümesi olduğunu göstererek yapalım.
- [a] *altküme* [b]: yapılması gereken şey, [a]dan alınan her elemanın [b]de olduğunu göstermek. bE[a], öyleyse b~a, öyleyse a~b. alınan her xE[a] için x~a diyebiliyoruz, eşitlik ilişkisi olmasını kullanarak x~b diyebiliriz, öyleyse xE[b]
- [b] *altküme* [a]: bE[a], öyleyse b~a. şimdi her xE[b] için x~b deriz, ikisini birleştirerek x~a deriz, ve böylece xE[a]
böylece bE[a] önşartıyla hareket ettiğimizde kümelerin eşitliğini gösterdik ve teoremi ispatladık.

2. Fonksyonlar
önceki yazıda fonksyonları, örtenliği ve birebirliği tanımlamıştım. geriye söz etmek istediğim bir iki şey kaldı: ters fonksyonlar, birleşim ve altkümeler üzerinde görüntüler.
2.1 Fonksyon birleşimi

diyelim ki elimizde f:A->B ve g:C->D şeklinde iki fonksyon var. bu iki fonksyonu bir şekilde birbiriyle ilişkili hale getirebilir miyiz? tabii, ancak bu hoş bir çözüm olmaz. f.g: AxC->BxD şeklinde bir fonksyon yazılabilir, ve f.g((a,b))=(f(a), g(b)) şeklinde tanımlanabilir, ama bu fonksyon başladığımız şeylerden çok farklı olmaz, erişmek istediğimiz şeye ise hiç benzemez.

daha güzel bir birleşim için, fonksyonlarda bazı koşullar olmalı. f:A->B ise g:B->C olmalı, böylece A'nın elemanlarını C'ye götüren bir h fonksyonu yazılabilir. h:A->C, h(a)=g(f(a)). yani A'nın elemanlarını f ile B'ye, böyle oluşan elemanları -ki onlar da B'nin elemanıdır- g ile C'ye götürüyoruz. bu h fonksyonunu gof olarak göstermek de mümkün. tabii daha da fazla fonksyonu birleştirmek de mümkün, yani d...ocoboa diye sınırlı sayıda fonksyonu birleştirebiliriz, tanım çok değişmeyecektir. her seferinde dikkat edilmesi gereken şey, birleşimdeki her fonksyonun elemanlarını aldığı kümenin bir önceki fonksyonun elemanları götürdüğü küme olması gerektiğidir.

2.2  Ters Fonksyonlar
verilmiş bir f:A->B fonksyonumuz olsun. şimdi bunu kullanarak özdeşlik fonksyonunu yani id:X->X id(x)=x elde etmeye çalışıyoruz. (fonksyon, tabii ki üzerinde tanımlandığı kümeye bağlı, ancak her küme için aynı şeyi verecek, yani id(x)=x. kısaca her elemanı kendisine götüren bir fonksyon)

burada iki önemli soru var: hangi küme üzerinde özdeşlik istiyoruz, ve bunu nasıl başaracağız?
- A üzerinde özdeşlik:
şimdi ihtiyacımız olan bir g:B->A fonksyonu, öyle ki her xEA için gof(x)=x sağlansın. bu g(f(x))=x demektir. diyelim ki f birebir değil, yani x=y'nin sağlanmadığı bazı durumlarda f(x)=f(y) olabiliyor. şimdi iki tarafı da g'ye sokalım
g(f(x))=g(f(y)) (çünkü g bir fonksyondur, ve fonksyonlar bir elemanı tek bir elemana götürür, ve f(x) ve f(y) aynı elemandır)
x=y (çünkü gof(x)=x, gof(y)=y, tanımdan ötürü)
bir çelişki elde ettik, böylece f'in birebir olmak zorunda olduğunu gösterdik.
peki bu yeterli midir? yanıt evet, birebir fonksyonlar için her zaman böyle bir 'ters' fonksyon bulabiliyoruz, çünkü g(x) şu şekilde tanımlanabilir: eğer a f'in görüntüsündeyse f(b)=a olan biricik b'ye gitsin, değilse A'dan seçilen rastgele -ama bir tane- a0'a gitsin. bu şartlar altında g'nin bir fonksyon olduğu ve gof(x)=x olduğu açık.

ama fog(x)=x denebilir mi? hayır. burada iki seçenek var, ya x f'in görüntüsündedir, ya da değildir. görüntüsündeyse g(x)=b olur, öyle ki f(b)=x, böylece fog(x)=f(g(x))=f(b)=x. burada sıkıntı x f'in görüntüsünde değilken çıkıyor, çünkü o zaman g(x)=a0, ve f(a0)=x eşitliği hiç bir zaman kurulamaz, çünkü öyle olsaydı x f'in görüntüsünde olurdu, ki bu baştaki fikrimizle çelişir.

- B üzerinde özdeşlik:
şimdi ihtiyaç duyduğumuz g:B->A fonksyonu fog(x)=x i sağlamalı. bunun olabilmesi için çok basit bir şart var. fog(x)=x her xEB için sağlanacaksa, o zaman f'in B'deki her değeri alacağı, yani örten olacağı, aşikar. şimdi bir kere daha, bunun yeterli olup olmadığına bakmak gerek.
eğer f örtense, her xEB için bir yEA vardır ki f(y)=x, daha doğrusu, görüntüsü x olan elemanların boş olmayan bir kümesi vardır. g(x)'i bu elemanların bir tanesine götürerek fonksyonumuzu tanımlayabiliriz. böylece yeterlilik sağlanıyor.

tabii, öncekindeki gibi, bunda da gof(x)=x sağlanmıyor. diyelim ki a=b sağlanmıyor ama f(a)=f(b)=c. o zaman gof(a)=gof(b), ve gof(x)=x denkliğinin sağlanması durumunda oluşacak çelişki de bariz.

[tabii burada önemli soru, g(x)'i görüntüsü x olan elemanlar kümesinin bir elemanına nasıl götürdüğümüzdür. bunun için seçim aksyomu denen ve matematikçilere ufak bir huzursuzluk veren bir aksyom kullanılıyor. ana fikir boş olmayan bir kümeden bir eleman seçilebileceğidir]

- Çift taraflı özdeşlik
şimdi istediğimiz öyle bir g:B->A olsun ki, hem fog(x)=x olsun, hem de gof(x)=x. önceki özdeşlikleri kullanarak, bunun olabilmesi için f'in hem örten, hem de birebir, yani kısaca 'eşleşme' olması gerektiğine varmak kolay. tabii örtenliği elde etmek görece daha kolay, eğer f örten değilse, B'nin öyle bir altkümesi (B') alınır ki f':A->B' örten olur. bu olduğu takdirde, g fonksyonunu f^(-1) ile göstermek tercih edilir, bu f fonksyonunun ters fonksyonudur.

2.3 Fonksyon görüntüleri
verilmiş bir f:A->B fonksyonu kullanarak, A ve B'nin alt kümelerinden yeni altkümeler elde edebiliriz. A'*altküme*A, B'*altküme*B olsun.
- f[A'] (genelde f(A') gösterimi kullanılır, ancak kafa karıştırıcı olmaması için bu kullanım daha başarılı) kümesi şöyle tanımlanır: f[A']={f(a)| aEA'}. her a için f(a)EB olduğundan, f[A'] da B'nin bir altkümesidir, buna A' 'nın f altındaki görüntüsü denir
- f^(-1)[B']={a| f(a)EB'} a'yı fonksyona sokabilmemiz onun A kümesinde yer aldığını gösterir, böylece f^-1[B'] de A'nın bir altkümesidir. burada dikakt edilmesi gereken şey, bunu yazabilmemiz için fonksyonun tersi olmasına gerek olmayışıdır, burada f^(-1) ile bir kümenin öngörüntüsünü almaktayız.

3. İşlemler
ikili işlem (ya da üçlü, dörtlü...) f:AxA->A şeklinde yazılabilen bir fonksyondur, yani A'nın iki elemanını işleme sokup A'nın başka bir elemanını -veya bu elemanlardan birisini, fark etmez- aldığımız şeyler. bunlara en güzel örnekler, elbette, doğal sayılar üzerinde toplama ve çarpmadır.

işte böylece, bir süredir yazdığım şeyleri en başta tanımladıklarıma bağlarsam, altkümelik ilişkisi bir parçalı sıralama ilişkisidir, birleşim, kesişim ve kartezyen çarpım işlemleri ise 'tüm kümeler kümesi' üzerinde tanımlanmış işlemlerdir -her ne kadar, tüm kümeleri içeren sınıf bir küme olmasa da-

sanırım işlemlerden söz etmem, bir sonraki yazıda cebire girmeme izin verir.