İspatlar

Matematik, ispatlanması lazım olan teoremlerle doludur. Peki nasıl ispatlanır bu teoremler?

Önce, teoremler belli bazı şartlar altında çalışır, ve bir gerçeği ileri sürer. Kısaca, p'nin olduğu zaman q'nun da olacağını söyler, bunu p=>q ile gösterelim. Bazı teoremler ise, p ve q'nun eşdeğer olduğunu söyler, yani p'nin olduğu zamanlarda q da olur -ki bunu p=>q ile göstermiştik- ve buna ek olarak, q'nun olduğu zamanlarda p de olur -ki bunu da q=>p ile gösteririz, hatta bu ikisini birleştirip sistemi p<=>q ile göstermek de mümkün-.
Bazı teoremler eşdeğerlik işini bir adım ileriye götürür, p<=>q<=>r<=>...s diye belli bir önermeler sisteminde eşdeğerlikten söz ederler.

Dikkat edin, => bir sıralama ilişkisi, <=> ise bir eşitlik ilişkisidir.

Şimdi, bir şeyler ispatlamadan, hatta bir şeyin nasıl ispatlanacağına bile değinmeden, bazı -çoğunlukla mantıksal- gerçeklerden söz etmek istiyorum.
- hatırlatmak isterim, bir sıralama ilişkisinde x~y ve y~x elde edildiyse, x=y denilebilir. buradaki sıralama büyükeşitlik olabilir, altkümelik olabilir, veya az önce gördüğümüz => ilişkisi (ima ediş de diyebiliriz) olabilir.
- bazı p koşulları, başka koşulların birleşimi olarak ifade edilebilir. burada, önermeler üzerinde yapılabilecek işlemler karşımıza çıkıyor, *ve* ve *veya*. ancak burada p*ve*q ya da p*veya*q işleminin sonucunu bir r önermesi şeklinde göstermek her zaman kolay veya mümkün olmayabilir, p*ve*q/p*veya*q şeklinde bırakmak daha pratik olabilir.
- p*ve*q sistemine 'doğru' diyebilmemiz için, hem p'nin, hem de q'nun doğru olması gerek
- p*veya*q içinse, bunlardan birinin doğru olması yetmektedir. 'sadece biri' değil, 'biri', yani ikisi de doğru iken de bu doğru olur. kısaca, ikisi de yanlış olmadığı sürece p*veya*q için doğru denilebilir.
- bir de, *değil* fonksyonu vardır -görüyorsunuz, önceden tanımladığım kavramları nasıl da bol keseden kullanıyorum- öyle ki p*değil* ancak p yanlışsa doğrudur, p'nin doğru olmasıyla ise yanlış olur.

şimdi, sıklıkla kullanılar 3 ispat yöntemini inceleyelim -o kadar sıklıkla ki, aklıma başka bir tane gelmiyor-

1) doğrudan ispat: bununla p'nin ima ettiği bazı şeyler bulunur, ve bunlarla q'ya ulaşılmaya çalışılır. bazen bu yetmez, q'yu ima eden şeyler aranır ve bununla p'nin ima ettikleri birleştirilmeye çalışılır. genelde arada ilham gereken basamaklar olur, aksi takdirde matematikçiler bunları 'çok basit bir ispat' diyip geçiştirme eğilimindedirler.

2) çelişkiyle ispat: p=>q durumunun, yani p'nin olduğu her zaman q'nun da olacağını ispatlamak için, p'nin olup q'nun olamayacağı bir sistemin imkansızlığı gösterilebilir. bunun için, p*ve*(q*değil*) sistemiyle başlanır ve ya p*değil*'e, ya da q'ya erişilir, böylece bir çelişki elde edilir.

3) tersiyle ispat: eğer p'nin olduğu her durumda q olacaksa, o zaman q'nun olmaması p'nin olmadığına işaret eder, yani q*değil*=>p*değil* sistemi p=>q sistemiyle eşdeğerdir, bazı durumlarda bunu ispat etmek daha kolay olur.

aklıma 3 yöntemle de ispatlanabilecek basit bir teorem gelmediği için örnek kısmı biraz bekleyecek. en kötü durumda her bir yöntem için ayrı bir teorem kullanabilirim.