Kümeler 102

[öncelikle, blog girdisi oluşturmayı bir zamanlama sorununa çeviren mahkemelerimizi ve opendns i tebrik ediyorum >.> ]

david pierce hocamızın "foundations of mathematical practice" kitabını ele geçirmemle birlikte (kendisi 'not' demiş ama kanmayın, 230~ sayfadan söz ediyoruz) matematiksel şeyler üzerine konuşmaya devam edeyim. bir noktada kendimden şüphe etmeye başlamış, bir kitaba ihtiyaç duymuştum.

hatırlatma için -hem okuyucuya, hem yazara- önceki yazıda söz edilen şeylere bakalım:
kümelerin ve elemanlarının varlığı, birleşim, kesişim, kartezyen çarpım işlemleri, sıralı çift kavramı, altkümelik ilişkisi.
geriye kalanlar: işlem nedir? ilişki nedir? bu soruların yanıtları, bu kavramların tanımları olmadan bir önceki yazıda tanımlanan şeyler havada, onlarla yapılan işler rastgele kalacaktır.

tabii, söz ettiğim kitapta da belirtildiği gibi, dairesel bir yol izliyor olabiliriz. yani önceden tanımlanmış şeylerle bir şeyi tanımlamak, ve bu bir şeyle de önceki şeyleri tanımlamak. ["Yet my supposedly rigorous account of the integers depends on all of the machinery that the book develops first, with the aid of a familiarity with... the integers."] yapacak bir şey yok, böylesinin daha kolay anlaşılır olduğuna ikna oldum. sonuç olarak öncesi yazımda da birleşim ve kesişim -ve bir kaç şey daha- da boolean cebire bulaşmadan tanımlandı.

1) İlişkiler:
bir ilişki AxB kümesinin bir altkümesidir, R diyelim -relation'ın baş harfinin konuyla bir ilgisi olduğunu düşünenler el kaldırsın- (a, b) E R yerine aRb yazmak da mümkündür -hatta tercih edilir- ve bu a nın b ile ilişkili olduğunu gösterir.
örneğin: A kümesi {x| x dünyadaki bir insandır}, B ise {kadın, erkek} olsun. o zaman A kümesinin her elemanı için -a diyelim- kadınsa aRkadın, erkekse de aRerkek diyebiliriz. bu durumda a cinsiyetiyle ilişkili oluryor, cinsiyeti a ile değil, çünkü dünyada erkekliği veya kadınlığı a'dan başka bireyler de yaşıyor.

tabii bir de, ikili ilişki var. bunların özelliği AxB'nin değil, AxA'nın altkümeleri olması. yani Anın elemanlarının birbiriyle olan ilişkileri inceleniyor. önceki örnekteki A kümesini alırsak, R ilişkisi de 'anne, baba, kardeş ve çocuğu olmak' olsun, her a için, a'nın annesi, babası, kardeşi ve çocuğu olan b'ler için aRb yazabiliriz. şu an tam olarak emin olmamakla birlikte, sanırım bu ilişki bir sıralama ilişkisi. bunu sıralama ilişkileri tanımlandığı sırada teyit eder veya yanlışlarız. şimdilik dikkat edilmesi gereken şey, bu altküme R'ın herhangi bir koşulu olmadığı. ne ilk birime Anın her elemanı gelmek zorunda -çünkü herkesin anne, baba, kardeş veya çocuğu dünya üzerindeki bir insan olmak zorunda değil [basitlik adına, A kümesinde belirtilmemiş bir 'şu an' ibaresinin olduğunu varsayıyorum] ne de ikinci birimine -aynı şey burada da geçerli- yani öyle bir aEA olabilir ki, hiç bir bEA için aRb veya bRa yazamayabiliriz.

bir de, n-li ilişki var, yani AxAx...A kümesinin altkümeleri, ancak bu yazılarda pek kullanım görmeyecek.

1.1) Sıralama ilişkisi:
Bir ikili ilişki alalım, örneğin R *altküme* AxA. eğer R şu koşulları sağlıyorsa ona 'parçalı sıralama ilişkisi' veya kısaca 'sıralama ilişkisi' diyeceğiz:
- her x E A için, xRx (yani (x, x) E R )
- xRy ve yRx => x=y, buna eşdeğer olarak şu da söylenebilir
her x E A, y E A\{x} için xRy ve yRx in olması imkansızdır
- son olarak da, xRy, yRz => xRz

bu tür ilişkilere en basit örneklerden birisi, tamsayılar üzerindeki 'küçük eşit' ilişkisidir.
- her sayı kendisine küçük eşittir
- bir a sayısı başka bir b sayısına küçük eşitse, o zaman b a'ya küçük eşit olamaz
- ve tabii, a b'den küçük eşit, b de c'den küçük eşitse o zaman a da b'den küçük eşittir.

peki bir önceki kısımdaki kanbağı ilişkisi bir sıralama ilişkisi midir? hayır, çünkü annemizin annesi bizim annemiz, babamız, kardeşimiz veya çocuğumuz değildir. yani son koşulda bir sıkıntı yaşanıyor, ancak bunu da uygun düzeltmelerle kaldırmak mümkün.

eğer buna ek olarak, bir de her elemanın bir diğeriyle ilişkisi varsa, buna 'doğrusal sıralama ilişkisi' diyoruz. bunun ne anlama geldiğini grafik bir örnekle açıklamak daha kolay olacak sanırım. bir soy ağacı, bir sıralama ilişkisidir, daha doğrusu bu ilişkinin grafiğidir. tabii burada ilişkiyi önceki örnekteki kanbağından çıkartıp sadece {çocuğu, torunu, torun çocuğu,...} ilişkisine indirdim. bu durumda en küçük eleman soy ağacının başındaki 'ata' olur, ve ona bağlı olanlar ondan büyüktür. bu ilişkide bir a kişisi ve kardeşi b kişisi velilerinden büyük oluyor. peki a ve b arasında bir sıralama mümkün mü? hayır, a b'nin çocuğu, torunu, torun çocuğu... değil. aynı şekilde b de a'nın çocuğu, torunu, torun çocuğu... değil. öyleyse ne aRb yazabiliriz, ne de bRa, böylece bu ilişki 'doğrusal' olmuyor. (doğrusal olmaması, ilişkinin grafiğinin dallanıp budaklanmasıyla da görülebilir, ancak böyle bir iddia matematiksel olmayacaktır.)

oysa doğrusal bir sıralamada her elemanı bir doğru üzerinde, bir iplik üzerindeki boncuklar gibi dizebiliriz (tabii, bu her zaman söylendiği kadar kolay olmayacaktır.)

1.2) Eşitlik İlişkisi
eşitlik ilişkisi de, sıralama ilişkileri gibi, belli koşulları sağlayan ilişkilere verilen genel bir isimdir. bu koşullar:
[öncelikle, R *altküme* AxA olmalıdır, aksi takdirde 2. koşul sağlanamaz]
- her x için, xRx (yani, her eleman kendisine eşit olmalıdır)
- xRy => yRx (yani, x'in y'ye eşit olup y'nin x'e eşit olmaması gibi bir durumdan söz edilememeli)
- xRy, yRz => xRz (yani, x y'ye, y de z'ye eşitse, x z'ye eşit olmalıdır)

buna bir örnek olarak, düzlemdeki doğruların paralelliği verilebilir (yani a, b doğrusu için, a b'ye paralelse a~b diyelim) o zaman, elbette a~a, ve a~b durumu b~a durumunu gerektirir. son koşulun tuttuğunu göstermek biraz daha zahmetli, ancak yapılamayacak bir şey değil. böylece ~ ilişkisi bir eşitlik ilişkisi oluyor.

2) Fonksyonlar
fonksyonlar, özel bir ilişki türüdür. ikili ilişki olması gibi bir gereklilik de yok. şimdi standard fonksyon yazım şeklimizi ve bunun nasıl bir ilişki olduğunu inceleyelim:
f: A -> B dediğimiz zaman, kastedilen şey f'in A'nın elemanlarını B'nin elemanlarına götürdüğüdür. öyleyse ilişkimiz R, AxB'nin bir altkümesi olacak, öyle ki f(a)=b demek aslında aRb demek olacak. bir fonksyonda aranan özelliklerden birisi, A'nın hiç bir elemanın boş kalmamasıdır, yani her a E A için bir b E B vardır öyle ki aRb. sonra aranan bir başka koşul da her a için f(a)=b yazabilidiğimiz b'nin biricik olmasıdır. yani eğer f(a)=b ve f(a)=c diyebiliyorsak, o zaman b=c koşulu gereklidir. bu koşullar sağlandığında f'e bir fonksyon diyebiliyoruz.

fonksyonların bu yazıda söz etmeye değer iki özelliği daha var:
-bire birlik: eğer fonksyonumuz f B'deki her elemana en fazla bir eleman götürüyorsa, bu fonksyona bire bir denir. yani, f(a)=f(b), a, b E A eşitliğinin sağlandığı her durumda a=b eşitliği sağlanıyorsa bu bire bir fonksyondur.
-örtenlik: eğer fonksyon B'deki her elemana en az bir eleman götürüyorsa bu fonksyon örtendir. yani her b E B için bir a E A varsa öyle ki f(a)=b, o zaman fonksyon örtendir.

sanırım bu kadar bilgiyle bir sonraki yazıda fonksyonlardan söz etmem kimsenin kalbini kırmaz. işlemlerin kimlikleri üzerine de daha fazla yorumu sonraya bırakayım. ayrıca, eşitlik sınıflarından da söz etmek iyi bir fikir olabilir.